Probabilidad Condicional

Vamos a examinaremos como la probabilidad de ciertos eventos depende o se ve influida por la ocurrencia de otros. Para ello veremos algunos ejemplos.

Ejemplo 27: Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

1. La primera semilla sea roja?
2. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?

Solución:

1. La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos: 
2. La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por 

, y se lee: la probabilidad de B₂ dado R₁.
Esta probabilidad , puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes.
Veamos la situación en un diagrama de árbol:

Definición de Probabilidad Condicional: Para dos eventos cualesquiera A y B en un espacio muestra S, tales que P(A) > 0 con P(A) ¹ 0, la probabilidad del evento B dado el evento A, se define por .

Ejemplo 28: Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?

Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es


S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:


A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}

El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}

Por lo tanto, AÇ B ={aaa} y 

De donde 

Nótese que es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.

Proposición 3.5: Para dos eventos A y B cualesquiera del espacio muestra S,

Demostración: Para cualquier evento B,

Como los eventos (BÇ A) y (BÇ A^C) son mutuamente exclusivos y su unión es B, entonces por el axioma 3, tenemos:  [3.3]

Despejando P(AÇ B) de la definición de probabilidad condicional, tenemos
P(AÇ B) = P(A) P(B/A) y P(A^CÇ B) = P(A^C) P (B/A^C)
Sustituyendo en [3.3] se tiene P(B) = P(A) P(B/A) + P(A^C) P (B/A^C).
Obsérvese que en un diagrama de árbol si se multiplica

P(A) P(B/A) = P(AÇ B) y P(A^C) P(B/A^C) = P(A^CÇ B)

Ejemplo 29: Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.


Solución: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y A^C el evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(A^C) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y P(B/A^C) = 8/12 porque en la caja 2 hay 8 esferas blancas en un total de 12.
Ahora bien, por la proposición 3.5 tenemos: